چه چیز ریاضیات زیبا است، جناب ریاضی‌دان؟

این خبر را شنیده‌ایم: کوچر بیرکار، استاد ریاضی در کمبریج، زاده شده در مریوان، برنده جایزه پرافتخار “فیلد” شده است. در ویدئوی زیر که در معرفی اوست، «مهاجر ریاضی‌دان» (معنای اسم کردی او) از علاقه‌اش به ریاضی می‌گوید. اما مگر می‌توان به ریاضیات علاقه‌مند بود؟

رشته‌ی ریاضی را عموماً‌ خسته‌کننده می‌دانند. اما باید پای صحبت اهل فن نشست تا دریافت ریاضیات چقدر جذاب و شورانگیز است. شاید این شور را حس کرده باشید، وقتی که به راه حل مسئله‌ای دست یافته‌اید. هر چه مسئله پیچیده‌تر، درگیری با آن شورانگیزتر.

گونتر تسیکلر (Günter Ziegler) استاد پرآوازه ریاضیات در برلین، در مصاحبه‌ای که “اشپیگل” با او کرده شرح می‌دهد که چرا ریاضیات او را به وجد می‌آورد. این هندسه‌دان در مصاحبه‌ای با هفته‌نامه‌ی «اشپیگل» توضیح می‌دهد که یک برهان هوشمندانه‌ی ریاضی چه ویژگی‌ای دارد.

ترجمه این مصاحبه در تقویم انتشار بخش اندیشه زمانه قرار داشت و نوبت نشر آن خوشبختانه مصادف شد با زمانی که تصویر کوچر بیرکل را در ذهن داریم و به خاطر تداعی معانی تصویر مریم میرزاخانی را در حال حل مسئله‌ای ریاضی.

درباره‌ی انتزاع و ظرافت ریاضی

 بحث درباره‌ی ریاضیات به دیدگاه‌های متضاد میان افراد دامن می‌زند. بعضی، صراحت و قطعیت جهان انتزاعی ریاضی را دوست دارند که در اصل، جدل در مورد درست یا نادرست در آن ممکن نیست. بعضی دیگر هم با آمدن نام آن، سختی درس ریاضیات را به یاد می‌آورند که در آن مجبور به حل مسأله‌های خسته‌کننده بودند. مسأله‌هایی که درک مفهوم آن‌ها برای‌شان سخت بود.

این موضوع که پس از خواندن اثبات یک قضیه در چشم‌های ریاضیدانان برق شادی می‌نشیند و آن برهان را زیبا و باشکوه می‌یابند، ممکن است باعث شگفتی همه‌ی کسانی شود که علاقه‌ی چندانی به رشته‌ی ریاضیات ندارند. اما زمانی که پای داوری درباره‌ی آثار ریاضی در میان است، زیبایی به هیچ وجه مقوله‌ی چندان بی‌اهمیتی نیست.

ریاضیات اغلب پیچیده جلوه می‌کند و بسیاری از برهان‌های ریاضی هم همین‌طور هستند. در این بین، پرسش فلسفی اینجا است که آیا مسائل باید لزوما این‌گونه باشد و دست کم برای بعضی پرسش‌ها، احتمالاً‌ پاسخ‌های زیبا و کوتاه‌تری وجود ندارد.

کسی که می‌خواهد زیبایی ریاضیات را تجربه کند، باید بکوشد عمیق‌تر به جهان فکری این رشته راه بیابد. شاید چنین ریاضی‌دوستی، چه زن چه مرد، بدون هر نوع کمک دیگری، برهان ریاضی‌ای را هم برای اثبات قضیه‌ای پیدا کند یا دریابد که این یا آن ریاضیدان، با چه نبوغ و ظرافتی مسأله‌های ظاهراً حل‌نشدنی را حل کرده است. برای نمونه، پاسخ به این پرسش که آیا بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. (بله، وجود دارد!) یا چرا نمی‌توان عددهایی مثل پی (π) یا ای (e)، عدد اویلر، یا عدد e² را به‌ شکل حاصل تقسیم دو عدد طبیعی نوشت؟ (چون این اعداد، گنگ یا غیرنسبی هستند.)

پاول اردوس، ریاضیدان مجارستانی که در سال ۱۹۹۶ درگذشت، ریاضیات پیچیده و پرظرافت را دوست داشت و همیشه برای همکارانش از کتابی می‌گفت که خداوند در آن برهان‌ها و قضایای عالی ریاضی را گرد آورده است. اگرچه اردوس شخصاً به وجود خداوند باور نداشت، اما معتقد بود در جایگاه ریاضیدان باید به وجود چنین کتابی باور داشت.

فهم‌پذیری ریاضی برای ناآشنایان

  اردوس سختکوشانه افکار و پیشنهادهای همکارانش را برای تدوین کتاب بزرگ قضایای ریاضی کنار هم می‌گذاشت، اما پیش از به انجام رسیدن آن طرح درگذشت. سرانجام در سال ۱۹۹۸، دو سال پس از مرگ او،  مارتین آیگنر و گونتر تسیکلر، دو ریاضیدان برلینی، کتابی را که ریاضیدان مجارستانی پیوسته درباره‌اش گفته‌ بود، به چاپ رساندند.

نخستین نسخه‌ی انگلیسی این کتاب با نام «قضیه‌هایی از کتاب بزرگ» چاپ شد. نسخه‌ی آلمانی آن نیز با عنوان «کتاب بزرگ قضیه‌های ریاضی» در سال ۲۰۰۲ به چاپ رسید. در پنج فصل این کتاب، نویسندگان ده‌ها برهان و قضیه را شرح می‌دهند. پیش‌شرط خوانش و فهم کتاب، داشتن دانش پایه‌ی وسیعی در ریاضی است. اما بسیاری از برهان‌ها و اثبات قضیه‌ها دست‌کم برای ناآشنایان دوستدار ریاضیات کاملاً فهم‌پذیر است.

اکنون، دو نویسنده‌ی کتاب بر ششمین و در حقیقت، همزمان، آخرین چاپ آن متمرکز شده‌اند. در گفت‌وگو با «اشپیگل آنلاین»، تسیکلر، هندسه‌دان برلینی، توضیح می‌دهد که زیبایی و ریاضیات چگونه با هم جمع می‌شوند.

■ اشپیگل: شما زیباترین برهان‌ها و قضیه‌های ریاضی را در کتاب‌تان جمع می‌کنید. در این کار، زیبایی برای شما چه مفهومی دارد؟

تسیکلر: ما در کتاب‌مان همیشه از تعریف زیبایی یک برهان یا قضیه‌ی ریاضی خودداری کرده‌ایم، چون این کار همان‌قدر ناشدنی است که برای نمونه، بخواهید معیارهایی برای زیبایی یک شعر تعیین کنید.

■ اشپیگل: اما به هر حال باید در اصل، نوعی درک مشخص از زیبایی داشته باشید. 

تسیکلر: امیل بورِل، ریاضیدان فرانسوی، ریاضیات را «اعجاز ایده‌ها» توصیف کرده است. برای من، زیبایی ریاضی آنجا به دست می‌آید که چیزهایی با یکدیگر سازگاری پیدا می‌کنند، پیوندهای غافلگیرکننده‌ای میان آن‌ها هست و ناگهان، می‌توان در مسأله، قضیه یا استدلالی عنصرهایی را زنجیره‌وار کنار هم گذاشت، طوری‌که شاید یافته‌های شگفت‌انگیزی هم از آن‌ها به دست بیاید.

■ اشپیگل: آیا ناآشنایان به ریاضیات می‌توانند زیبایی آن را دریابند یا این لذت فقط برای ریاضیدانان محفوظ است؟

تسیکلر: ریاضیات سطح‌های بسیار گوناگونی دارد. آموزه‌هایی که ما از ریاضیات یونان به دست آورده‌ایم و از نظریه‌ی مقدماتی اعداد در اختیار داریم، برای نا‌آشنایان به ریاضیات هم آگاهی‌هایی هستند که می‌توان از آن‌ها لذت برد. البته مسلماً‌ چنین علاقمندانی باید کمی عمیق‌تر نیز به ریاضیات بپردازند. اما اگر کسی در این راه حوصله به خرج بدهد، این بخت را هم دارد که با بخش‌های جالبی از ریاضیات نیز آشنایی مناسبی پیدا کند.

■ اشپیگل: برای نمونه کدام بخش‌ها؟

تسیکلر: از نظر من، شاید بهترین مثال، آن قضیه‌ی اقلیدس باشد که می‌گوید بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. اقلیدس حتا دستوری برای چگونگی یافتن اعداد اول بعدی به دست می‌دهد، در صورتی که پیشاپیش چند عدد اول در دسترس باشد. فرمول آن هم بسیار آسان است: ابتدا دو عدد اول موجود را در هم ضرب می‌کنیم. سپس عدد یک را به آن اضافه می‌کنیم. حاصل یا یک عدد اول است یا رقمی که یک عدد اول، عنصری از آن را تشکیل می‌دهد. یکی از روش‌های زیبا و آسان‌فهم برای ناآشنایان را می‌توان، در اصلِ لانه‌ی کبوتری یا قفسه‌ها دانست.

■ اشپیگل: برای بعضی، تجربه‌ی درس ریاضیات در مدرسه بیش از حد آزاردهنده بوده است. در این درس، محاسبه‌های خسته‌کننده و قرار دادن مصنوعی مقادیر عددی در فرمول‌های ریاضی همیشه در برنامه‌ی کار است. چه جایی در این بین برای زیبایی می‌ماند؟

تسیکلر: در مدرسه، دقیقاً اولویت نخست، همین یادگیری روش‌های اثبات قضایا است. آنجا دانش‌آموزان با ابزارهای پایه‌ی ریاضیات آشنا می‌شوند. این بخش اجباری موضوع است. اما در این بین، نباید بخش اختیاری را از یاد برد که در آن می‌توان آموخت، ایده‌ها چگونه به کار می‌آیند. درست مانند کارهای هنری بزرگ، در کار پرظرافت ریاضی هم مهارت و ورزیدگی نهفته است. باید هر دو را با یکدیگر داشت.

■ اشپیگل: امروزه، ریاضیدانان برهان‌هایی ارائه می‌دهند که بیان‌شان صدها صفحه ادامه می‌یابد. آیا این بیشتر ریاضیات ناهنجار نیست؟

تسیکلر: ریاضیات نوین دانشی بسیار پیشرفته است. دیگر به‌سختی می‌توان برهان‌های بسیار کوتاه پیش از یافته‌های تازه و بزرگ به دست داد. این واقعیت که ما نسبت به ۲۰۰ سال قبل، در ریاضیات پیشرفت بسیار زیادی داشته‌ایم، همچنین به توانایی دسترسی ما به سازه‌های نظری گسترده‌تر در ریاضی مربوط است. همچنین، ما ابزارهای کمکی بسیار متنوع‌تری نسبت به گذشته در اختیار داریم. برای نمونه، ما از رایانه استفاده می‌کنیم تا تفاوت مسأله‌ها را بررسی کنیم و تحلیل داده‌ها را به انجام برسانیم. با این داشته‌ها می‌توانیم نسبت به گذشته سازه‌های فکری بسیار گسترده‌تری بنا کنیم و آن‌ها در چند صفحه‌ی مختصر نمی‌گنجند.

■ اشپیگل: اما آن شکوه و زیبایی ریاضیات اقلیدس چه می‌شود؟ آیا برای چنان زیبایی‌ای از جمله به افکار دسترسی‌پذیر و آسان‌فهم نیاز نیست؟

تسیکلر: حتا اگر برهان یا قضیه‌ای ۱۰۰ صفحه توضیح داشته باشد، باز به این معنی نیست که زیبا نیست. کسانی که چنین برهان‌ها یا قضیه‌هایی را می‌فهمند، برای نمونه، کار اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی را برای راه حل قضیه‌ی آخر فرما درک می‌کنند، می‌گویند که ایده‌های اعجاب‌انگیز بسیاری در خود دارد که واقعاً به آن زیبایی می‌بخشد. این را باید گفت، حتا با این‌که فهم چنین موضوع‌هایی، بسیار فراتر از گستره‌ی دانش ریاضی من است. برای تشخیص زیبایی کار وایلز در قضیه‌ی فرما باید سال‌ها در زمینه‌ی نظریه‌ی اعداد، بخش تخصصی آن در ریاضیات، دانش‌ به دست آورد.

■ اشپیگل: به این ترتیب، آیا زیبایی ریاضیات، بیشتر حاصل کار بسیار پیگیر ریاضیدان است تا دستاورد الهام ناگهانی؟ همان‌طوری که این یا آن هنرمند هم می‌تواند در مورد کار هنری‌ بگوید؟

تسیکلر: یک برهان و استدلال درخشان ریاضی مثل الماسی نورانی است، اما از ابتدا درخشش کنونی را نداشته و این، حاصل فرایند طولانی کار روی آن است. کسی آن الماس خام، آن برهان آغازین را، جسته و یافته است. شاید این کار سال‌ها زمان برده و یافتنش، آن فرد را به شهرت رسانده باشد. الماس خام همان برهان آغازین است، درستی‌اش را نشان می‌دهد، اما بیشتر اوقات، در آغاز عملاً هنوز چندان زیبا نیست.

باید آن الماس را صیقل داد تا به درخشش واقعی برسد. اما باز همین کار هم سخت است، چون الماس‌ها اجسام بسیار سختی هستند (اما درست به همین دلیل، آ‌ن‌ها فقط زیبا نیستند، بلکه سودمند هم هستند. در ریاضیات هم درست همین‌گونه است). سرانجام، موضوع این است که فکر اصلی نهفته در یک برهان یا استدلال را هرچه روشن‌تر به دست بدهیم و فزونی‌های نالازم را حذف کنیم. از این راه، برهان‌ها و استدلال‌های ریاضی اغلب کوتاه‌تر هم می‌شوند. همین روند بهینه‌سازی مداوم روش‌های ریاضی، بخش مهمی از فرآیند شناخت است.

منبع: اشپیگل آنلاین